问点到平面的距离公式

【点到平面的距离公式】在三维几何中，计算一个点到一个平面的距离是一个常见的问题。该距离是点与平面上最近点之间的线段长度，可以通过数学公式进行精确计算。以下是关于“点到平面的距离公式”的总结。

一、点到平面的距离公式

设空间中有一点 $ P(x_0, y_0, z_0) $，以及一个平面 $ \pi $ 的一般方程为：

$$

Ax + By + Cz + D = 0

$$

其中，$ A, B, C $ 是平面的法向量 $ \vec{n} = (A, B, C) $，$ D $ 是常数项。

则点 $ P $ 到平面 $ \pi $ 的距离 $ d $ 公式为：

$$

d = \frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

$$

二、公式解析

- 分子部分：$ Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D $ 表示点 $ P $ 在平面方程中的代入结果的绝对值。

- 分母部分：$ \sqrt{A^2 + B^2 + C^2} $ 是法向量的模长，用于归一化距离。

- 符号意义：公式的绝对值确保了距离始终为非负值。

三、公式应用场景

四、举例说明

已知点：$ P(1, 2, 3) $

平面方程：$ 2x - y + 3z - 6 = 0 $

代入公式得：

$$

d = \frac{2(1) - 1(2) + 3(3) - 6}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{2 - 2 + 9 - 6}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{3}{\sqrt{14}}

$$

所以点 $ P $ 到平面的距离为 $ \frac{3}{\sqrt{14}} $。

五、总结

点到平面的距离公式是三维几何中的重要工具，广泛应用于多个领域。通过理解其数学原理和实际应用，可以更有效地解决相关问题。掌握这一公式有助于提升空间想象能力和数学建模能力。

如需进一步了解如何从点到直线、点到线段的距离公式，可继续探讨相关内容。